代码随想录算法训练营第43天 |1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（Leetcode）

思路:

这道题和416. 分割等和子集 - 力扣（Leetcode）很相似，只需要把石头的重量分成重量最接近的两堆，然后取差值即可
1. 确定dp数组以及下标的含义
  - dp[j]的定义为：重量为j时能装的最大石头重量
2. 确定递推公式
  - 状态转移方程为dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3. dp数组如何初始化
```
vector<int> dp(1501, 0);
```
4. 确定遍历顺序
```
for(int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
    for(int j = target; j >= stones[i]; --j) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}
```
5. 最后得到的dp[target]代表的是分成两堆后重量较小的那一堆石头的重量

我的AC代码

// 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
// 空间复杂度：O(m)
class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
            sum += stones[i];
        }
        int target = sum / 2;
        vector<int> dp(1501, 0);
        for(int i = 0; i < stones.size(); ++i) {
            for(int j = target; j >= stones[i]; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
};

标准答案

// 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
// 空间复杂度：O(m)
class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

494. 目标和 - 力扣（Leetcode）

思路:

这道题求的是是否能达成目标值target，那么一定有
- left - right = target
- left + right = sum
- right = sum - left
- left - (sum - left) = target
- 所以left = (sum + target) / 2
那么该题目就转化成当背包容量为left时有几种装满背包的办法
我们先排除不可能填满的情况，然后再讨论动态规划的处理办法
- 1. target绝对值大于sum
  2. (sum + target) / 2不是偶数
以下为动态规划处理办法
1. 确定dp数组以及下标的含义
  - dp[j]的定义为：填满容量为j的背包的方法数
2. 确定递推公式
  - 因为求的是组合问题，所以状态转移方程为dp[j] += dp[j - nums[i]]; ，相当于遍历每一个新物品时都要将前面的最大值加上
3. dp数组如何初始化
```
dp[0] = 1;
```
4. 确定遍历顺序
```
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
    for(int j = left + 1000; j >= nums[i] + 1000; --j) {
        dp[j] += dp[j - nums[i]];
    }
}
```

我的AC代码

原代码

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(n)
// m 代表 (target + sum) / 2
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            sum += nums[i];
        }
        if(target > sum || ((target + sum) % 2 == 1)) {
            return 0;
        }
        int left = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(11000, 0);
        dp[1000] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            for(int j = left + 1000; j >= nums[i] + 1000; --j) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[left + 1000];
    }
};

进一步减枝代码

target绝对值大于sum的直接去掉

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(n)
// m 代表 (target + sum) / 2,即背包容量
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            sum += nums[i];
        }
        if(target > sum || ((target + sum) % 2 == 1)) {
            return 0;
        }
        int left = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(11000, 0);
        dp[1000] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            for(int j = left + 1000; j >= nums[i] + 1000; --j) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[left + 1000];
    }
};

标准答案

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(n)
// m 代表 (target + sum) / 2,即背包容量
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

474. 一和零 - 力扣（Leetcode）

思路:

这道题是01背包的变式，和普通01背包不同的是这道题的“重量”有两个维度，分别是单个字符串中0的数量和1的数量，所以应该建立一个二维数组
1. 确定dp数组以及下标的含义
  - dp[i][j]的定义为：背包中最多能容纳i个0和j个1时的最大子集数
2. 确定递推公式
  - 状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
3. dp数组如何初始化
```
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
```
4. 确定遍历顺序
  - 先遍历每个字符串，同时统计该字符串中0和1的数量
  - 然后倒序遍历dp数组

我的AC代码

// 时间复杂度O(m x n x k),空间复杂度O(m x n)
class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for(int k = 0; k < strs.size(); ++k) {
            int zeroNum = 0;
            int oneNum = 0;
            for(char c : strs[k]) {
                if(c == '1') {
                    oneNum++;
                }
                else {
                    zeroNum++;
                }
            }
            for(int i = m; i >= zeroNum; --i) {
                for(int j = n; j >= oneNum; --j) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

标准答案

// 时间复杂度O(m x n x k),空间复杂度O(m x n)
class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};