代码随想录算法训练营第44天 |完全背包、518. 零钱兑换 II、377. 组合总和 Ⅳ

518. 零钱兑换 II - 力扣（Leetcode）

思路:

这道题是经典完全背包问题，但不是纯完全背包，因为纯完全背包的情况是物品数量无限，求一定背包容量下能容纳的最大价值。而这道题求的是能填满一定背包容量不同的组合数量，且每个物品数量是无限的。与纯完全背包不同的是状态转移方程不同，纯完全背包问题的递推公式是dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i] + values[i])，而本题的递推公式是dp[j] += dp[j - nums[i]]

确定dp数组以及下标的含义
- dp[j]的定义为：凑成金额为j的背包的组合数量
确定递推公式
- 状态转移方程为dp[j] += dp[j - coins[i]];
dp数组如何初始化
```
vector<int> dp(amount + 1, 0);
```

确定遍历顺序

// 本题采用的是先遍历物品再遍历背包，如果先遍历背包再遍历物品的话[1, 5]和[5, 1]会被认为不同的种类，但本题认为这是同一种。在求排列数量，即把[1, 5]和[5, 1]当作不同的种类时才先遍历背包再遍历物品
for(int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
    for(int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

我的AC代码

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(n)
// m代表amount
class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
            for(int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

标准答案

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(n)
// m代表amount 
class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（Leetcode）

思路:

本题也是完全背包类问题，因为物品数量无限，所以遍历背包的时候要从小到大遍历，又因为求的是排列数量，所以进行遍历的时候要先遍历背包再遍历物品

确定dp数组以及下标的含义
- dp[j]的定义为：target为j的时候所有可能的排列数量
确定递推公式
- 状态转移方程为dp[j] += dp[j - nums[i]];
dp数组如何初始化
```
vector<int> dp(target + 1, 0);
```

确定遍历顺序

for(int j = 0; j <= target; ++j) {
    for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }
}

我的AC代码

// 时间复杂度O(n2),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int j = 0; j <= target; ++j) {
            for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
                if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) {
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

标准答案

// 时间复杂度O(n2),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};