代码随想录算法训练营第39天 | 62.不同路径、63. 不同路径 II

TFTree 发布于 2023-01-08 764 次阅读


AI 摘要

这篇文章介绍了动态规划算法解决LeetCode上的两个问题:不同路径和不同路径 II。对于不同路径问题,使用动态规划算法,通过确定dp数组的含义和递推公式,初始化数组并遍历得到答案;对于不同路径 II,同样使用动态规划,但需要特别处理障碍物,将其对应的路径数量赋为0,同时还需特别处理数组的初始化。此外,还提供了数论方法对不同路径问题进行解答。

62. 不同路径 - 力扣(LeetCode)

思路:

  • 使用动态规划

    1. 确定dp数组以及下标的含义

      • dp[i][j]的定义为:dp[i][j]代表到达[i,j]的路径数量
    2. 确定递推公式

      • 状态转移方程为dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    3. dp数组如何初始化

      // 要初始化左边第一排和上边第一排的所有格子路径数为1
      for(int i = 0; i < n; ++i) {
      dp[0][i] = 1;
      }
      for(int i = 0; i < m; ++i) {
      dp[i][0] = 1;
      }
    4. 确定遍历顺序

      // 因为左边第一排和上面第一排已经初始化
      for(int i = 1; i < m; ++i) {
      for(int j = 1; j < n; ++j) {
      }
      }

我的AC代码

动态规划

// 时间复杂度O(n x m),空间复杂度O(n x m)
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0; i < n; ++i) {
dp[0][i] = 1;
}
for(int i = 0; i < m; ++i) {
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 1; i < m; ++i) {
for(int j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n -1];
}
};

标准答案

动态规划

// 时间复杂度O(n x m),空间复杂度O(n x m)
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};

动态规划(优化空间复杂度)

// 时间复杂度O(n x m),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n);
for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
for (int j = 1; j < m; j++) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] += dp[i - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
};

数论方法

// 时间复杂度O(m),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
long long numerator = 1; // 分子
int denominator = m - 1; // 分母
int count = m - 1;
int t = m + n - 2;
while (count--) {
numerator *= (t--);
while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
numerator /= denominator;
denominator--;
}
}
return numerator;
}
};

63. 不同路径 II - 力扣(LeetCode)

思路:

  • 使用动态规划

    1. 确定dp数组以及下标的含义

      • dp[i][j]的定义为:dp[i][j]代表到达[i,j]的路径数量
    2. 确定递推公式

      // 遇到障碍物则赋为0
      if(obstacleGrid[i][j] == 1) {
      dp[i][j] = 0;
      }
      else {
      dp[i][j] += dp[i -1][j] + dp[i][j - 1];
      }
    3. dp数组如何初始化

      // 要初始化左边第一排和上边第一排的所有格子路径数为1
      // 遇到障碍物就直接中断
      for(int i = 0; i < m; ++i) {
      if(obstacleGrid[i][0] == 1) {
      break;
      }
      dp[i][0] = 1;
      }
      for(int i = 0; i < n; ++i) {
      if(obstacleGrid[0][i] == 1) {
      break;
      }
      dp[0][i] = 1;
      }
    4. 确定遍历顺序

      // 因为左边第一排和上面第一排已经初始化
      for(int i = 1; i < m; ++i) {
      for(int j = 1; j < n; ++j) {
      }
      }

我的AC代码

动态规划

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(m x n)
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0; i < m; ++i) {
if(obstacleGrid[i][0] == 1) {
break;
}
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 0; i < n; ++i) {
if(obstacleGrid[0][i] == 1) {
break;
}
dp[0][i] = 1;
}
for(int i = 1; i < m; ++i) {
for(int j = 1; j < n; ++j) {
if(obstacleGrid[i][j] == 1) {
dp[i][j] = 0;
}
else {
dp[i][j] += dp[i -1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[m - 1][n -1];
}
};

标准答案

动态规划

// 时间复杂度O(m x n),空间复杂度O(m x n)
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍,直接返回0
return 0;
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};

动态规划(空间优化版)

// 时间复杂度:O(n × m),n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
// 空间复杂度:O(m)
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if (obstacleGrid[0][0] == 1)
return 0;
vector<int> dp(obstacleGrid[0].size());
for (int j = 0; j < dp.size(); ++j)
if (obstacleGrid[0][j] == 1)
dp[j] = 0;
else if (j == 0)
dp[j] = 1;
else
dp[j] = dp[j-1];
for (int i = 1; i < obstacleGrid.size(); ++i)
for (int j = 0; j < dp.size(); ++j){
if (obstacleGrid[i][j] == 1)
dp[j] = 0;
else if (j != 0)
dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
}
return dp.back();
}
};